Cho hình chóp $ S.ABCD $ có $ SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $, đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh bằng 10 và $ SC=10\sqrt[] { 5 } $. Gọi $ M,N $lần lượt là trung điểm của $ SA $ và $ CD $. Khoảng cách giữa$ BD $ và $ MN $ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Ta có $ AB=10⇒AC=10\sqrt[] { 2 } $. Xét tam giác $ SAC $ vuông tại $ A $ nên $ SA=\sqrt[] { SC ^ { 2 } -AC ^ { 2 } }=\sqrt[] { \left ( { 10\sqrt[] { 5 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { 10\sqrt[] { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=10\sqrt[] { 3 } $. Gắn hệ trục tọa độ $ Oxyz $ sao cho gốc $ O≡A $ như hình vẽ. Khi đó: $ A\left ( { 0;0;0 } \right ),B\left ( { 10;0;0 } \right ),C\left ( { 10;10;0 } \right ),D\left ( { 0;10;0 } \right ),S\left ( { 0;0;10\sqrt[] { 3 } } \right ) $. Do $ M,N $lần lượt là trung điểm của $ SA $ và $ CD $ nên $ M\left ( { 0;0;5\sqrt[] { 3 } } \right ),N\left ( { 5;10;0 } \right ) $. $ \overset\rightarrow { MN }=\left ( { 5;10;-5\sqrt[] { 3 } } \right ),\overset\rightarrow { BD }=\left ( { -10;10;0 } \right )⇒\left[ \overset\rightarrow { MN };\overset\rightarrow { BD } \right]=\left ( { 50\sqrt[] { 3 };50\sqrt[] { 3 };150 } \right )⇒\left | { \left[ \overset\rightarrow { MN };\overset\rightarrow { BD } \right] } \right |=50\sqrt[] { 15 } $. Lấy $ B\left ( { 10;0;0 } \right )\in BD $ và $ M\left ( { 0;0;5\sqrt[] { 3 } } \right )\in MN $, ta có $ \overset\rightarrow { BM }=\left ( { -10;0;5\sqrt[] { 3 } } \right ) $. $ d\left ( { BD,MN } \right )=\frac { \left | { \overset\rightarrow { BM }.\left[ \overset\rightarrow { MN };\overset\rightarrow { BD } \right] } \right | } { \left | { \left[ \overset\rightarrow { MN };\overset\rightarrow { BD } \right] } \right | }=\frac { \left | { \left ( { -10 } \right ).50\sqrt[] { 3 }+0.50\sqrt[] { 3 }+5\sqrt[] { 3 }.150 } \right | } { 50\sqrt[] { 15 } }=\frac { 250\sqrt[] { 3 } } { 50\sqrt[] { 15 } }=\sqrt[] { 5 }≈2,24 $.