Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ B $, $ BA=3,{ \rm{ } }BC=4 $. Cạnh bên $ SA=\frac { 5\sqrt[] { 2 } } { 4 } $ và $ SA $ vuông góc với đáy. Biết bình phương khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AB $ và $ SC $ bằng $ \frac { m } { n } $ (m, n nguyên dương và $ \frac { m } { n } $ tối giản). Tính hiệu $ n-m $.

Từ $ C $ kẻ đường thằng $ d $//$ AB $. Trên $ d $, xác định điểm $ D $ sao cho tứ giác $ ABCD $ là hình bình hành. $ ⇒d\left ( { AB,SC } \right )=d\left ( { AB,\left ( { SCD } \right ) } \right )=d\left ( { A,\left ( { SCD } \right ) } \right ) $. Vì $ ABC $ là tam giác vuông tại $ B $ nên tứ giác $ ABCD $ là hình chữ nhật. $ ⇒CD⊥AD $. Ta có: $ SA⊥\left ( { ABC } \right )⇒SA⊥CD $. $ ⇒CD⊥\left ( { SAD } \right ) $. Trong mặt phẳng $ \left ( { SAD } \right ) $, kẻ $ AH⊥SD{ \rm{ } }\left ( { H\in SD } \right ) $. $ ⇒CD⊥AH $. $ ⇒AH⊥\left ( { SCD } \right ) $. $ ⇒d\left ( { A,\left ( { SCD } \right ) } \right )=AH $. Ta có: $ ΔSAD $ vuông tại $ A $ nên $ ⇒\frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AD ^ { 2 } }=\frac { 1 } { \left ( { \frac { 5\sqrt[] { 2 } } { 4 } } \right ) ^ { 2 } }+\frac { 1 } { 4 ^ { 2 } }=\frac { 153 } { 400 } $. $ ⇒AH ^ { 2 } =\frac { 400 } { 153 } $. $ ⇒n-m=153-400=-247. $