Cho hình hộp $ ABCD.A'B'C'D' $ có tất cả các mặt là hình vuông cạnh a. Các điểm $ M,N $ lần lượt nằm trên $ AD',DB $ sao cho $ AM=DN=x(0 < x < a\sqrt[] { 2 }) $ Khi x thay đổi, đường thẳng $ MN $ luôn song song với mặt phẳng cố định nào sau đây?

Chọn B Sử dụng định lí Ta-lét thuận Vì $ AD{ \rm{ // } }A'D' $ nên tồn tại $ \left ( { P } \right ) $ là mặt phẳng qua $ AD $ và song song với mp $ \left ( { A'D'CB } \right ) $ $ \left ( { Q } \right ) $ là mặt phẳng qua $ M $ và song song với mp $ \left ( { A'D'CB } \right ) $ Giả sử $ \left ( { Q } \right ) $ cắt $ DB $ tại $ N' $ Theo định lí Ta-lét ta có: $ \frac { AM } { AD' }=\frac { DN' } { DB }\quad (*) $ Mà các mặt của hình hộp là hình vuông cạnh $ a $ nên $ AD ^ { ′ } =DB=a\sqrt[] { 2 } $ Từ $ \left ( { * } \right ) $ ta có $ AM=DN' ⇒DN'=DN ⇒N'≡N ⇒MN⊂(Q) $ $ \left ( { Q } \right ){ \rm{ // } }\left ( { A'D'CB } \right ) $ suy ra $ MN $ luôn song song với mặt phẳng cố định $ \left ( { A'D'CB } \right ) $ hay $ \left ( { A'BC } \right ) $ Sử dụng định lí Ta-lét đảo Từ giả thiết ta có: $ \frac { AM } { DN }=\frac { MD' } { NB }=\frac { AD' } { DB } $ Suy ra $ AD $, $ MN $ và $ D'B $ luôn song song với một mặt phẳng (định lí Ta-lét đảo). Vậy $ MN $ luôn song song với một mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $, mà $ \left ( { P } \right ) $ song song với $ AD $ và $ D'B $ Mặt phẳng này chính là mp $ \left ( { A'D'CB } \right ) $ hay $ \left ( { A'BC } \right ) $