Cho hàm số $y = \frac{\sqrt{x-2m+3}}{x-m} + \frac{3x-1}{\sqrt{-x+m+5}}$, hàm số xác định trên khoảng $(0; 1)$ với mọi $m \in [a; b] \cup [c; d]$. Tính $P = a + 2b + c + 2d$?

Điều kiện xác định của hàm số là: $$\begin{cases} x - 2m + 3 \ge 0 \\ x - m \neq 0 \\ -x + m + 5 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 2m - 3 \\ x \neq m \\ x < m + 5 \end{cases}$$ - Trường hợp 1: $2m - 3 \ge m + 5 \Leftrightarrow m \ge 8 \Rightarrow$ Tập xác định của hàm số là $D = \emptyset$ (loại). - Trường hợp 2: $2m - 3 < m + 5 \Leftrightarrow m < 8 \Rightarrow$ Tập xác định của hàm số là $D = [2m - 3; m + 5) \setminus \{m\}$. Để hàm số xác định trên khoảng $(0; 1)$ thì khoảng $(0; 1)$ phải là tập con của tập xác định $D$. Điều này tương đương với: $$\begin{cases} 2m - 3 \le 0 \\ m + 5 \ge 1 \\ m otin (0; 1) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \le \frac{3}{2} \\ m \ge -4 \\ \left[ \begin{array}{l} m \le 0 \\ m \ge 1 \end{array} \right. \end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} -4 \le m \le 0 \\ 1 \le m \le \frac{3}{2} \end{array} \right.$$ Suy ra $m \in [-4; 0] \cup \left[1; \frac{3}{2}\right]$. Do đó ta có: $a = -4$, $b = 0$, $c = 1$, $d = \frac{3}{2}$. Vậy $P = a + 2b + c + 2d = -4 + 2 \cdot 0 + 1 + 2 \cdot \frac{3}{2} = 0$.