Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{mx}{\sqrt{x-m+2}-1}$ xác định trên khoảng $(0; 1)$?

Hàm số xác định khi và chỉ khi: $$\begin{cases} x - m + 2 \ge 0 \\ \sqrt{x-m+2} - 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge m - 2 \\ x - m + 2 \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge m - 2 \\ x \neq m - 1 \end{cases}$$ Do đó, tập xác định của hàm số là $D = [m - 2; +\infty) \setminus \{m - 1\}$. Để hàm số xác định trên khoảng $(0; 1)$ thì khoảng $(0; 1)$ phải là tập con của tập xác định $D$. Điều này tương đương với: $$\begin{cases} m - 2 \le 0 \\ m - 1 otin (0; 1) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \le 2 \\ \left[ \begin{array}{l} m - 1 \le 0 \\ m - 1 \ge 1 \end{array} \right. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \le 2 \\ \left[ \begin{array}{l} m \le 1 \\ m \ge 2 \end{array} \right. \end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m \le 1 \\ m = 2 \end{array} \right.$$ Vì $m$ là số nguyên dương nên $m \in \{1; 2\}$. Vậy có 2 giá trị nguyên dương của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.