Cho hàm số $y=\ln(-x^{2}+mx+2m+1)$. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau.

a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai Lời giải a) Khi $m=0$, hàm số có dạng $y=\ln(-x^{2}+1)$. Hàm số xác định khi $-x^{2}+1>0 \Leftrightarrow -1 < x < 1$. Vậy hàm số xác định trên $(-1; 1)$. b) Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi: $$ -x^{2} + mx + 2m + 1 > 0, \, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta < 0 \\ a = -1 > 0 \text{ (vô lý)} \end{cases} $$ Suy ra không có giá trị nào của $m$ để hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}$. c) Khi $m=3$, hàm số có dạng $y=\ln(-x^{2}+3x+7)$. Điều kiện xác định: $-x^{2}+3x+7>0 \Leftrightarrow \frac{3-\sqrt{37}}{2} < x < \frac{3+\sqrt{37}}{2}$. Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \{-1; 0; 1; 2; 3; 4\}$. Vậy có 6 giá trị nguyên $x$ trong tập xác định. d) Hàm số xác định với mọi $x \in (1; 2)$ khi $-x^{2}+mx+2m+1>0, \, \forall x \in (1; 2)$. $$ \Leftrightarrow f(x) = x^{2} - mx - 2m - 1 < 0, \, \forall x \in (1; 2) $$ Suy ra phương trình $f(x)=0$ có 2 nghiệm thỏa mãn $x_{1} \leq 1 < 2 \leq x_{2}$. $$ \Rightarrow \begin{cases} f(1) \leq 0 \\ f(2) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -3m \leq 0 \\ -4m + 3 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \geq \frac{3}{4} $$ Vì $m \in \mathbb{Z}, m \in [-2024; 2024] \Rightarrow m \in \{1; 2; 3; \dots; 2024\}$ nên có 2024 giá trị nguyên của $m$.