Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 2 }\log_{ 2 } \left ( { \frac { 2x } { 1-x } } \right ) $. Tính tổng: $ S=f\left ( { \frac { 1 } { 2025 } } \right )+f\left ( { \frac { 2 } { 2025 } } \right )+f\left ( { \frac { 3 } { 2025 } } \right )+...+f\left ( { \frac { 2023 } { 2025 } } \right )+f\left ( { \frac { 2024 } { 2025 } } \right ). $

Xét $ f\left ( { x } \right )+f\left ( { 1-x } \right )=\frac { 1 } { 2 }\log_{ 2 } \left ( { \frac { 2x } { 1-x } } \right )+\frac { 1 } { 2 }\log_{ 2 } \left[ \frac { 2\left ( { 1-x } \right ) } { 1-\left ( { 1-x } \right ) } \right] $ $ =\frac { 1 } { 2 }\log_{ 2 } \left ( { \frac { 2x } { 1-x } } \right )+\frac { 1 } { 2 }\log_{ 2 } \left[ \frac { 2\left ( { 1-x } \right ) } { x } \right]=\frac { 1 } { 2 }\log_{ 2 } \left[ \frac { 2x } { 1-x }.\frac { 2\left ( { 1-x } \right ) } { x } \right]=\frac { 1 } { 2 }\log_{ 2 } 4=1 $. Áp dụng tính chất trên, ta được $ S=\left[ f\left ( { \frac { 1 } { 2025 } } \right )+f\left ( { \frac { 2024 } { 2025 } } \right ) \right]+\left[ f\left ( { \frac { 2 } { 2025 } } \right )+f\left ( { \frac { 2023 } { 2025 } } \right ) \right]+...+\left[ f\left ( { \frac { 1012 } { 2025 } } \right )+f\left ( { \frac { 1013 } { 2025 } } \right ) \right] $ $ =1+1+...+1=1012 $.