Đúng/Sai · Câu 25
Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l} \frac{x^{2}+ax+b}{x^{2}-4},\,x < -2 \\ -x^{2}+3,\,x\geq -2 \end{array}\right.$, với $a,b$ là các số thực.
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Sai
- b. Đúng
- c. Sai
- d. Đúng
Lời giải
Lời giải
a) Sai. Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
b) Đúng. $\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}f(x)=\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}(-x^{2}+3)=-\infty$.
c) Sai. $\mathop{\lim}\limits_{x\to -\infty}f(x)=\mathop{\lim}\limits_{x\to -\infty}\frac{x^{2}}{x^{2}}=1$.
d) Đúng
Để có giới hạn hữu hạn tại $x=-2$, $x=-2$ là nghiệm của tử số: $4-2a+b=0 \Rightarrow b=2a-4$.
$$\mathop{\lim}\limits_{x\to -2^{-}}f(x)=\mathop{\lim}\limits_{x\to -2^{-}}\frac{x^{2}+ax+2a-4}{x^{2}-4}=\mathop{\lim}\limits_{x\to -2^{-}}\frac{(x+2)(x-2+a)}{(x+2)(x-2)}=\frac{a-4}{-4}=\frac{4-a}{4}.$$
$\mathop{\lim}\limits_{x\to -2^{+}}f(x)=-(-2)^{2}+3=-1$.
$\frac{4-a}{4}=-1 \Leftrightarrow 4-a=-4 \Leftrightarrow a=8 \Rightarrow b=12$.
$5a-3b=5(8)-3(12)=40-36=4$.