Cho hình chóp $ S.ABCD $ có $ SA $ vuông góc với mặt phẳng $ (ABCD),SA=a\sqrt[] { 2 } $, $ ABCD $ là hình thang vuông tại $ A $ và $ D $ với $ AB=2a,AD=DC=a $. Khi đó:

a) đúng. Gọi $ M $ là trung điểm $ AB $, khi đó $ AMCD $ là hình vuông, đường chéo $ AC=a\sqrt[] { 2 } $. Tam giác $ ACB $ có trung tuyến $ CM $ thoả mãn $ CM=\frac { AB } { 2 } $ nên $ ACB $ là tam giác vuông tại $ C $. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} AC⊥BC \\ SA⊥BC({ \rm{ do } }SA⊥(ABCD)) \\ \end{array} ⇒BC⊥(SAC)⇒BC⊥SC \end{array} \right. $. b) đúng. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} (SBC)∩(ABC)=BC \\ AC⊥BC,SC⊥BC \\ AC⊂(ABC),SC⊂(SBC) \\ \end{array} ⇒((SBC),(ABC))=(SC,AC)= \widehat { SCA } \end{array} \right. $. Tam giác $ SAC $ vuông tại $ A $ có: $ \tan \widehat { SCA }=\frac { SA } { AC }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { a\sqrt[] { 2 } }=1⇒ \widehat { SCA }=45 ^ { ° } $. Vậy $ ((SBC),(ABC))= \widehat { SCA }=45 ^ { ° } $. c) Sai. $ ΔSAC $vuông tại A ta có $ SC=\sqrt[] { SA ^ { 2 } +AC ^ { 2 } }=\sqrt[] { (a\sqrt[] { 2 }) ^ { 2 } +(a\sqrt[] { 2 }) ^ { 2 } }=2a $ $ ΔBMC $ vuông tại M ta có $ BC=\sqrt[] { BM ^ { 2 } +MC ^ { 2 } }=\sqrt[] { a ^ { 2 } +a ^ { 2 } }=a\sqrt[] { 2 } $ d) đúng. Trong tam giác $ SAB $, kẻ $ MN $ vuông góc với $ SB $ tại $ N $. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} CM⊥AB \\ CM⊥SA \\ \end{array} ⇒CM⊥(SAB)⇒CM⊥SB \end{array} \right. $. Vì $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} SB⊥CM \\ SB⊥MN \\ \end{array} ⇒SB⊥(CMN)⇒SB⊥CN \end{array} \right. $. Khi đó: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} (SBC)∩(SAB)=SB \\ CN⊥SB,MN⊥SB \\ CN⊂(SBC),MN⊂(SAB) \\ \end{array} \end{array} \right. $ $ ⇒((SBC),(SAB))=(CN,MN)= \widehat { CNM } $ Ta có: $ SC=\sqrt[] { SA ^ { 2 } +AC ^ { 2 } }=2a,BC=\sqrt[] { BM ^ { 2 } +CM ^ { 2 } }=a\sqrt[] { 2 } $. Tam giác $ SBC $ vuông tại $ C $ có: $ \frac { 1 } { CN ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SC ^ { 2 } }+\frac { 1 } { BC ^ { 2 } }⇒CN=\frac { 2a\sqrt[] { 3 } } { 3 } $. Tam giác $ CMN $ vuông tại $ M $ có: $ \sin \widehat { CNM }=\frac { CM } { CN }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }⇒ \widehat { CNM }=60 ^ { ° } $. Vậy $ ((SBC),(SAB))= \widehat { CNM }=60 ^ { ° } $.