Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thoi tâm $ O $, hai mặt phẳng $ \left ( { SAC } \right ) $ và $ \left ( { SBD } \right ) $ cùng vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $. Gọi $ E $ là hình chiếu của $ O $ lên $ SA $, độ dài $ AB=SA=a $, $ SO=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 } $. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

a) Đúng. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { SAC } \right )⊥\left ( { ABCD } \right ) \\ \left ( { SBD } \right )⊥\left ( { ABCD } \right ) \\ \left ( { SAC } \right )∩\left ( { SBD } \right )=SO \end{array} \right.⇒SO⊥\left ( { ABCD } \right ) $. b) Sai. Ta có $ OE⊥SA $ tại $ E $ Trong tam giác vuông $ SOA $ ta có $ \frac { 1 } { OE ^ { 2 } }=\frac { 1 } { OA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OS ^ { 2 } }=\frac { 3 } { a ^ { 2 } }+\frac { 3 } { 2a ^ { 2 } }=\frac { 9 } { 2a ^ { 2 } } $ Suy ra $ OE=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 3 } $. c) Đúng. Ta có $ OE⊥SA $ tại $ E $ $ \left ( { 1 } \right ) $ Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} BD⊥AC \\ BD⊥SO \\ SO∩AC=O \end{array} \right.⇒BD⊥\left ( { SAC } \right )⇒BD⊥SA $ $ \left ( { 2 } \right ) $ Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ và $ \left ( { 2 } \right ) $ suy ra $ SA⊥\left ( { BDE } \right ) $. d) Đúng. Ta có $ OA=\sqrt[] { SA ^ { 2 } -SO ^ { 2 } }=\sqrt[] { a ^ { 2 } -\frac { 2a ^ { 2 } } { 3 } }=\sqrt[] { \frac { a ^ { 2 } } { 3 } }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } $ $ OB=\sqrt[] { AB ^ { 2 } -OA ^ { 2 } }=\sqrt[] { a ^ { 2 } -\frac { a ^ { 2 } } { 3 } }=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 } $ Xét tam giác vuông $ ΔBOE $ tại $ O $, có $ \tan \widehat { BEO }=\frac { OB } { OE }=\frac { \frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 } } { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 3 } }=\sqrt[] { 3 } $ $ ⇒ \widehat { BEO }=60 ^ { { \rm{ o } } } $. Do đó $ \widehat { BED }=120 ^ { { \rm{ o } } } $Xét hai mặt phẳng $ \left ( { SAB } \right ) $ và $ \left ( { SAD } \right ) $ ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { SAB } \right )∩\left ( { SAD } \right )=SA \\ BE⊂\left ( { SAB } \right ),BE⊥SA \\ DE⊂\left ( { SAD } \right ),DE⊥SA \end{array} \right. $ do đó góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { SAB } \right ) $ và $ \left ( { SAD } \right ) $ bằng góc $ \widehat { BED } $ hoặc $ 180°- \widehat { BED } $ (Nếu $ \widehat { BED }>90 ^ { { \rm{ o } } } $). Từ đây ta có góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { SAB } \right ) $ và $ \left ( { SAD } \right ) $ bằng $ 180°-120 ^ { { \rm{ o } } } =60° $.