Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz $, cho ba điểm $ A\left ( { 1;2;-1 } \right ),B\left ( { 2;-1;3 } \right ),C\left ( { -4;7;5 } \right ) $.Tọa độ chân đường phân giác trong góc $ B $ của tam giác $ ABC $ là $ \left ( { a;b;c } \right ) $. Tổng $ T=a+b+c $.

Ta có $ BA=\sqrt[] { \left ( { -1 } \right ) ^ { 2 } +3 ^ { 2 } +\left ( { -4 } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 26 } $, $ BC=\sqrt[] { 6 ^ { 2 } +\left ( { -8 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -2 } \right ) ^ { 2 } }=2\sqrt[] { 26 }. $ Gọi $ D\left ( { a;b;c } \right ) $ là chân đường phân giác trong góc $ B $. Khi đó ta có: $ \frac { DA } { DC }=\frac { BA } { BC }=\frac { 1 } { 2 }⇔DC=2DA⇔\overset\rightarrow { DC }=-2\overset\rightarrow { DA }\left ( { * } \right ) $ $ \overset\rightarrow { DC }=\left ( { -4-a;7-b;5-c } \right ),\overset\rightarrow { DA }=\left ( { 1-a;2-b;-1-c } \right ) $ $ \left ( { * } \right )⇔\left \{ \begin{array}{l} -4-a=-2\left ( { 1-a } \right ) \\ 7-b=-2\left ( { 2-b } \right ) \\ 5-c=-2\left ( { -1-c } \right ) \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=\frac { -2 } { 3 } \\ b=\frac { 11 } { 3 } \\ c=1 \end{array} \right. $ $ T=a+b+c=\frac { -2 } { 3 }+\frac { 11 } { 3 }+1=4. $