Trong không gian $ Oxyz $, cho $ A\left ( { 1;-4;7 } \right ),B\left ( { 5;1;6 } \right ),C\left ( { 5;5;5 } \right ) $.

a) Ta có $ K\left ( { \frac { 1+5 } { 2 };\frac { -4+1 } { 2 };\frac { 7+6 } { 2 } } \right ) $ hay $ K\left ( { 3;-\frac { 3 } { 2 };\frac { 13 } { 2 } } \right ) $. Suy ra a) Đúng. b) Ta có $ CK=\sqrt[] { \left ( { 3-5 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -\frac { 3 } { 2 }-5 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 13 } { 2 }-5 } \right ) ^ { 2 } }=\frac { \sqrt[] { 194 } } { 2 } $. Suy ra b) Đúng. c) Gọi điểm cần tìm là $ I\left ( { x;y;z } \right ) $, ta có $ -2\overset\rightarrow { IA }-3\overset\rightarrow { IB }+6\overset\rightarrow { IC }=-2\left ( { 1-x;-4-y;7-z } \right )-3\left ( { 5-x;1-y;6-z } \right )+6\left ( { 5-x;5-y;5-z } \right ) $ $ =\left ( { -2+2x-15+3x+30-6x;8+2y-3+3y+30-6y;-14+2z-18+3z+30-6z } \right ) $ $ =\left ( { 13-x;35-y;-2-z } \right )=0 $ $ ⇒\left \{ \begin{array}{l} 13-x=0 \\ 35-y=0 \\ -2-z=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x=13 \\ y=35 \\ z=-2 \end{array} \right. $. Vậy $ I\left ( { 13;35;-2 } \right ) $. Suy ra c) Sai. d) Với $ M $ là điểm trong không gian $Oxyz$. Gọi $I(13;35;-2)$ thỏa mãn $-2\overset\rightarrow { IA }-3\overset\rightarrow { IB }+6\overset\rightarrow { IC }=\overset\rightarrow { 0 }$ (như phần c). Vì $-2-3+6=1\neq 0$ nên với mọi điểm $M$: $P=-2MA ^ { 2 } -3MB ^ { 2 } +6MC ^ { 2 } =1\cdot MI ^ { 2 } +\left ( { -2IA ^ { 2 } -3IB ^ { 2 } +6IC ^ { 2 } } \right )$. Do hệ số của $MI ^ { 2 } $ dương nên $P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M\equiv I$. Khi đó $\overset\rightarrow { IA }=\left ( { -12;-39;9 } \right )\Rightarrow IA ^ { 2 } =1746$; $\overset\rightarrow { IB }=\left ( { -8;-34;8 } \right )\Rightarrow IB ^ { 2 } =1284$; $\overset\rightarrow { IC }=\left ( { -8;-30;7 } \right )\Rightarrow IC ^ { 2 } =1013$. $P_{ \min } =-2\cdot1746-3\cdot1284+6\cdot1013=-1266$. Vậy d) Đúng.