Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz $, có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $ A(3;1;0) $, $ B(3;6;6) $, $ C(4;6;2) $, $ D(6;2;14) $; vị trí $ M(a;b;c) $ thỏa mãn $ MA=3 $, $ MB=6 $, $ MC=5 $, $ MD=13 $. Khoảng cách từ điểm $ M $ đến điểm $ O $ bằng bao nhiêu?

Do vị trí $ M(a;b;c) $ thỏa mãn $ MA=3,\,MB=6,\,MC=5,\,MD=13 $ $ \overset\rightarrow { AM }=\left ( { a-3;b-1;c } \right )⇒\left ( { a-3 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { b-1 } \right ) ^ { 2 } +c ^ { 2 } =3 ^ { 2 } $ $ ⇒a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -6a-2b+1=0\left ( { 1 } \right ) $ $ \overset\rightarrow { BM }=\left ( { a-3;b-6;c-6 } \right )⇒\left ( { a-3 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { b-6 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { c-6 } \right ) ^ { 2 } =6 ^ { 2 } $ $ ⇒a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -6a-12b-12c+45=0\left ( { 2 } \right ) $ $ \overset\rightarrow { CM }=\left ( { a-4;b-6;c-2 } \right )⇒\left ( { a-4 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { b-6 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { c-2 } \right ) ^ { 2 } =5 ^ { 2 } $ $ ⇒a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -8a-12b-4c+31=0\left ( { 3 } \right ) $ $ \overset\rightarrow { DM }=\left ( { a-6;b-2;c-14 } \right )⇒\left ( { a-6 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { b-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { c-14 } \right ) ^ { 2 } =13 ^ { 2 } $ $ ⇒a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -12a-4b-28c+67=0\left ( { 4 } \right ) $ Từ $ \left ( { 1 } \right ),\,\left ( { 2 } \right ),\,\left ( { 3 } \right ),\,\left ( { 4 } \right ) $ ta có hệ phương trình $ ⇔\left \{ \begin{array}{l} 10b+12c=44 \\ 2a+10b+4c=30 \\ 6a+2b+28c=66 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=1 \\ b=2 \\ c=2 \end{array} \right. $ $ ⇒M\left ( { 1;2;2 } \right )⇒\overset\rightarrow { OM }\left ( { 1;2;2 } \right )⇒OM=\sqrt[] { 1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } }=3 $. Vậy khoảng cách từ điểm $ M $ đến điểm $ O $ bằng $ 3 $.