Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $A(0;0;0), B(3;0;0), D(0;3;0), D'(0;3;-3)$. Lấy $G$ là trọng tâm tam giác $B'BD'$.

a) Sai b) Sai c) Sai d) Đúng Lời giải a) Ta có $\overrightarrow{AB} = (3;0;0)$ và $\overrightarrow{AD} = (0;3;0)$. Gọi $C(x;y;z)$ thì $\overrightarrow{DC} = (x; y - 3; z)$. Vì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên: $$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \Leftrightarrow \begin{cases} 3 = x \\ 0 = y - 3 \\ 0 = z \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 3 \\ y = 3 \\ z = 0 \end{cases} \Rightarrow C(3; 3; 0) $$ b) Vì tứ giác $ADD'A'$ là hình bình hành nên: $$ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{A'D'} \Leftrightarrow \begin{cases} 0 = -x_{A'} \\ 3 = 3 - y_{A'} \\ 0 = -3 - z_{A'} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_{A'} = 0 \\ y_{A'} = 0 \\ z_{A'} = -3 \end{cases} \Rightarrow A'(0; 0; -3) $$ Tương tự ta có $B'(3; 0; -3)$. c) Ta có $\overrightarrow{AC} = (3; 3; 0)$ và $\overrightarrow{B'G} = (-1; 1; 1)$ nên $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{B'G} = 3 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 0 \Rightarrow AC \perp B'G$. Do đó góc giữa hai đường thẳng này là $90^\circ$. d) Nhận xét $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0 \Rightarrow AB \perp AD$, do đó đáy $ABCD$ của khối hộp đã cho là hình chữ nhật. Mặt khác $\overrightarrow{DD'} = (0; 0; -3)$. Suy ra: $$ \begin{cases} \overrightarrow{DD'} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \\ \overrightarrow{DD'} \cdot \overrightarrow{AD} = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} DD' \perp AB \\ DD' \perp AD \end{cases} \Rightarrow DD' \perp (ABCD) $$ Thể tích khối hộp là $V = AB \cdot AD \cdot DD' = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ (đvtt).