Một con thuyền rời bến $ O(0,0) $ trên một bờ sông, luôn đi với vận tốc không đổi 20 dặm/giờ hướng về bến $ A(1000,0) $ (phía đông của $ O $); đồng thời nước sông chảy ngược lên phía bắc với tốc độ 5 dặm/giờ. Người ta cho rằng đường đi của thuyền là $ y=500\left[ \left ( { \frac { 1000-x } { 1000 } } \right ) ^ { 3/4 } -\left ( { \frac { 1000-x } { 1000 } } \right ) ^ { 5/4 } \right],\quad 0\leq x\leq 1000 $ Tìm độ lệch bắc lớn nhất mà thuyền đạt được trong suốt hành trình.

Đặt $ u=\frac { 1000-x } { 1000 },\quad { \rm{ thì } }0\leq u\leq 1,\quad x=1000(1-u). $ Khi đó $ y(u)=500\left ( { u ^ { 3/4 } -u ^ { 5/4 } } \right ). $ Tính đạo hàm theo $ u $: $ 500\left ( { \frac { 3 } { 4 }u ^ { -1/4 } -\frac { 5 } { 4 }u ^ { 1/4 } } \right )=500⋅\frac { 1 } { 4 }u ^ { -1/4 } (3-5u) $ Vì $ u ^ { -1/4 } >0 $ trên $ (0,1] $, ta chỉ cần giải $ 3-5u=0⇒u=\frac { 3 } { 5 }=0,6 $ Lập bảng xét dấu ta có Suy ra $ y(u) $ đạt điểm cực đại tại $ u=0,6 $ Chuyển lại thành $ x $ và tính $ y_{ CĐ{ \rm{ } } } $ - Tương ứng $ x=1000(1-u)=1000⋅0,4=400 $. - Độ lệch bắc cực đại là $ y_{ CĐ } =500\left ( { (0,6) ^ { 3/4 } -(0,6) ^ { 5/4 } } \right )≈500(0,6817-0,5286)≈76,6 $ Do đó giá trị $ y_{ CĐ } ≈76,6 $ tại $ x=400 $ Kết luận: Trong suốt hành trình, con thuyền bị dòng nước đẩy lệch về phía bắc cực đại khoảng 76,6 (đơn vị chiều dài) khi nó đã đi được $ x=400 $ (đơn vị tương ứng) về phía đông.