Khi chế tạo một biến áp $ AC $, một lõi sắt dạng hình chữ thập được đặt vào cuộn dây (xem hình). Giả sử bán kính cuộn là $ a $. Hỏi góc $ \theta $ bằng bao nhiêu độ để tổng diện tích bề mặt lõi sắt là lớn nhất.

Đặt $ x=a\cos\theta ,y=a\sin\theta $ suy ra $ S=4xy+4y(x-y)=8xy-4y ^ { 2 } =4a ^ { 2 } \left ( { \sin2\theta -\sin ^ { 2 } \theta } \right ) $ trên khoảng $ 0\leq \theta \leq \frac { \pi } { 4 } $. Ta có $ S(\theta )=4a ^ { 2 } \left ( { \sin2\theta -\sin ^ { 2 } \theta } \right ),\quad 0\leq \theta \leq \frac { \pi } { 4 } $ Tính đạo hàm $ S ^ { ′ } (\theta ) $: $ S ^ { ′ } (\theta )=4a ^ { 2 } (2\cos2\theta -\sin2\theta ) $ Giải $ S ^ { ′ } (\theta )=0 $: $ 2\cos2\theta -\sin2\theta =0⇒2\cos2\theta =\sin2\theta ⇒\tan2\theta =2. $ Vì $ 0\leq 2\theta \leq \frac { \pi } { 2 } $, nghiệm duy nhất là $ 2\theta =\arctan2⇒\theta =\frac { 1 } { 2 }\arctan2≈0,5536rad\left ( { ≈31,7 ^ { ° } } \right ) $ Lập bảng biến thiên ta có: tại $ \theta ≈0,5536rad $ là điểm cực đại hay tổng diện tích bề mặt lõi sắt lớn nhất khi $ \theta ≈31,7° $ Khi đó: $ \theta =\frac { 1 } { 2 }\arctan2⇒\cos\theta =\sqrt[] { \frac { 1+\cos2\theta } { 2 } }=\sqrt[] { \frac { 1+\frac { 1 } { \sqrt[] { 5 } } } { 2 } }=\sqrt[] { \frac { \sqrt[] { 5 }+1 } { 2\sqrt[] { 5 } } } \\ \sin\theta =\sqrt[] { \frac { 1-\cos2\theta } { 2 } }=\sqrt[] { \frac { 1-\frac { 1 } { \sqrt[] { 5 } } } { 2 } }=\sqrt[] { \frac { \sqrt[] { 5 }-1 } { 2\sqrt[] { 5 } } } $ Vậy nghiệm tối ưu là $ \theta =\frac { 1 } { 2 }\arctan2,\quad x=a\sqrt[] { \frac { \sqrt[] { 5 }+1 } { 2\sqrt[] { 5 } } },\quad y=a\sqrt[] { \frac { \sqrt[] { 5 }-1 } { 2\sqrt[] { 5 } } }. $