Một tay lái mô tô nặng 180 (lb), di chuyển với vận tốc không đổi 30 dặm/giờ, thực hiện một khúc cua trên đường cho bởi đồ thị $ y=100e ^ { 0,01x } ,\quad -200\leq x\leq 50 $ Có thể chứng minh rằng độ lớn của lực pháp tuyến tác dụng lên tay lái mô tô xấp xỉ $ F(x)=\frac { 10890e ^ { 0,1x } } { \left ( { 1+100e ^ { 0,2x } } \right ) ^ { 3/2 } } $ (đơn vị lb) Hãy tìm lực pháp tuyến lớn nhất tác dụng lên tay lái trong suốt khúc cua (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Đặt $ u=e ^ { 0,2x } \left ( { ⇒e ^ { 0,1x } =u ^ { 1/2 } } \right ) $ khi đó $ F(x)=10890\frac { u ^ { 1/2 } } { (1+100u) ^ { 3/2 } } $ Để tìm cực đại, xét $ G(u)=\frac { u ^ { 1/2 } } { (1+100u) ^ { 3/2 } },\quad u>0 $ Tính $ lnG=\frac { 1 } { 2 }lnu-\frac { 3 } { 2 }\ln(1+100u)⇒\left ( { lnG } \right )′=\frac { 1 } { 2u }-\frac { 150 } { 1+100u } $ Cho đạo hàm bằng 0: $ \frac { 1 } { 2u }=\frac { 150 } { 1+100u }⇒1+100u=300u⇒200u=1⇒u=0,005 $ Lập bảng biến thiên cho hàm số $ G(u),u>0 $ ta có được hàm số đạt cực đại tại $ u=0,005 $ Trả về biến $ x $: $ e ^ { 0,2x } =0,005⇒0,2x=\ln(0,005)≈-5,298⇒x≈-26,49. $ (thuộc miền $ [-200,50] $). Giá trị cực đại $ F_{ CĐ } =10890\frac { \sqrt[] { 0,005 } } { (1+100⋅0,005) ^ { 3/2 } }=10890\frac { 0,07071 } { 1,5 ^ { 3/2 } }=10890\frac { 0,07071 } { 1,8371 }≈419,4lb $ - Lực pháp tuyến đạt cực đại khi $ x≈-26.5 $. - Giá trị cực đại là khoảng $ 419 $(lb).