Cho tứ diện đều $ ABCD $, $ N $là trung điểm của cạnh $ AC $. Tính giá trị của $ \sin \widehat { \left ( { AB,DN } \right ) } $ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng $ a. $ Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $ Khi đó: $ \left ( { \widehat { AB,DN } } \right )=\left ( { \widehat { MN,DN } } \right ) $ Ta có: $ MN=\frac { a } { 2 },\,\,DM=DN=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }. $ $ \cos \widehat { MND }=\frac { NM ^ { 2 } +ND ^ { 2 } -MD ^ { 2 } } { 2NM.ND }=\frac { \frac { a ^ { 2 } } { 4 } } { 2.\frac { a } { 2 }.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 6 }\,>0. $ Vậy $ { \rm{ \cos } } \widehat { \left ( { AB,DN } \right ) }=\cos \widehat { MND }=\,\frac { \sqrt[] { 3 } } { 6 }. $ Suy ra: $ \sin \widehat { \left ( { AB,DN } \right ) }=\sqrt[] { 1-\left ( { \frac { \sqrt[] { 3 } } { 6 } } \right ) ^ { 2 } }=\,\frac { \sqrt[] { 3 } } { 6 }. $ Vậy $ \sin \widehat { \left ( { AB,DN } \right ) }≈\,0,96 $.