Đúng/Sai · Câu 26
Cho tứ diện đều $ ABCD $ có cạnh bằng $ a,M $ là trung điểm cạnh $ BC $, $ N $ là trung điểm của $ AC $. Khi đó:
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Sai
- c. Đúng
- d. Sai
Lời giải
a) Đúng. $ MN $ là đường trung bình của tam giác $ ABC $
b) Sai. $ MN $ là đường trung bình của tam giác $ ABC ⇒\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} MN//AB(*) \\ MN=\frac { 1 } { 2 }AB=\frac { a } { 2 } \\ \end{array} \end{array} \right. $
Vì $ ΔBCD $ và $ ΔACD $ là các tam giác đều cạnh bằng $ a $ nên $ MD=ND=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $.
c) Đúng. Từ $ (*) $ suy ra: $ (AB,DM)=(MN,DM) $.
d) Sai. Xét $ ΔMND $, ta có: $ MD=ND=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $, $ MN=\frac { a } { 2 } $.
Áp dụng định lý côsin: $ \cos \widehat { DMN }=\frac { MD ^ { 2 } +MN ^ { 2 } -ND ^ { 2 } } { 2.MD.MN }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 6 } $
$ ⇒ \widehat { DMN } $ là góc nhọn.
Vậy $ (AB,DM)=(MN,DM)= \widehat { DMN } $ nên $ \cos(AB,DM)=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 6 } $.