Trắc nghiệm · Câu 38
Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A$ có $AB=AC=a$. Góc giữa mặt phẳng $(A'BC)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^{\circ}$. Tính thể tích khối lăng trụ.
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
A.
$\frac{a^3\sqrt{6}}{4}$
Lời giải
Lời giải
Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Ta có góc giữa hai mặt phẳng $(A'BC)$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{A'MA} = 60^{\circ}$.
Ta có $AM = \frac{BC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Chiều cao $AA' = AM \cdot \tan(60^{\circ}) = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$.
Diện tích đáy $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2}$.
Thể tích khối lăng trụ là:
$$
V = S_{ABC} \cdot AA' = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{2} = \frac{a^3\sqrt{6}}{4}
$$