Cho hình lăng trụ tam giác đều $ ABC.A'B'C' $ có cạnh đáy bằng $ 2a $, Thể tích khối lăng trụ $ a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } $. Khi đó:

a) Sai. Diện tích đáy của lăng trụ (đáy là tam giác đều) là: $ S_{ ΔA'B'C' } =\frac { (2a) ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }=a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 }. $ b) Đúng. Thể tích khối lăng trụ là: $ V=AA'⋅S_{ ΔA'B'C' } ⇒AA'=\frac { V } { S_{ ΔA'B'C' } }⇒AA'=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } }=a. $ Hai mặt đáy lăng trụ song song với nhau và có khoảng cách là: $ d\left ( { (ABC),\left ( { A'B'C' } \right ) } \right )=AA'=a{ \rm{ . } } $ c) Đúng. Trong mặt phẳng $ \left ( { A'B'C' } \right ) $, kẻ $ A'H⊥B'C' $ tại $ H $. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} B'C'⊥A'H \\ B'C'⊥AA'({ \rm{ do } },AA'⊥(A'B'C')) \end{array} \right.⇒B'C'⊥(AA'H). $ d) Đúng. Trong mặt phẳng $ \left ( { AA'H } \right ) $, kẻ $ A'K⊥AH $ tại $ K $. (1) Ta có: $ B'C'⊥(AA'H)⇒A'K⊥B'C'.\,\,(2) $ Từ (1) và (2) suy ra $ A'K⊥\left ( { AB'C' } \right ) $ hay $ d\left ( { A',\left ( { AB'C' } \right ) } \right )=A'K $. Tam giác $ A'B'C' $ đều có đường cao $ A'H=\frac { 2a.\sqrt[] { 3 } } { 2 }=a\sqrt[] { 3 } $. Tam giác $ AA'H $ vuông tại $ A' $ có đường cao $ A'K $ nên $ \frac { 1 } { A'K ^ { 2 } }=\frac { 1 } { A'H ^ { 2 } }+\frac { 1 } { A'A ^ { 2 } }⇒\frac { 1 } { A'K ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 3a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { a ^ { 2 } }⇒A'K=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }{ \rm{ . } } $