Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 360 phút được thể hiện trong mặt phẳng tọa độ. Theo đó tại thời điểm $ t\,(0≤t≤360) $ vật thể ở vị trí có tọa độ $ \left ( { 8+5sint°\,;\,6+5cost° } \right ) $. Gọi $ \left ( { a;b } \right ) $ là tọa độ của chất điểm $ M $ khi $ M $ ở gần gốc tọa độ nhất. Khi đó $ a+b=? $

Lời giải Từ cách xác định tọa độ của chất điểm M ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ M } =8+5sint° \\ y_{ M } =6+5cost° \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{ \begin{array}{l} x_{ M } -8=5sint° \\ y_{ M } -6=5cost° \end{array} \right.\Rightarrow\left ( { x_{ M } -8 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y_{ M } -6 } \right ) ^ { 2 } =25\,\left ( { 1 } \right ) $. Vậy chất điểm $ M $ luôn thuộc đường tròn $ (C) $ tâm $ I\left ( { 8\,;\,6 } \right ) $ và có bán kính $ R=5 $. $ M $ ở gần gốc tọa độ nhất khi $ M $ là giao điểm của $ OI $ và $ M $, tức là $ \overset\rightarrow { OM }=k\overset\rightarrow { OI }\left ( { 0 < k < 1 } \right ) $ Hay $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ M } =8k \\ y_{ M } =6k \end{array} \right. $, thay vào $ (1) $ ta được $ \left ( { 8k-8 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 6k-6 } \right ) ^ { 2 } =25\Leftrightarrow\left ( { k-1 } \right ) ^ { 2 } =\frac { 1 } { 4 }\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} k=\frac { 3 } { 2 } \\ k=\frac { 1 } { 2 } \end{array} \right. $ Vì $ 0 < k < 1 $ nên ta lấy $ k=\frac { 1 } { 2 } $, khi đó tọa độ $ M $ là $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ M } =4 \\ y_{ M } =3 \end{array} \right. $ Vậy $ a+b=4+3=7 $.