Một cành cây dài 4 m, rẽ nhánh tại điểm cao 7 m trên thân cây mọc thẳng đứng so với mặt đất. Cành cây này có nguy cơ gãy tại gục A (giả sử khi gãy sẽ rơi theo một cung tròn) tại điểm rẽ nhành tại thân cây trong mùa mưa bão. Hỏi các công trình xây theo phương thẳng đứng cao 3,7m nằm theo hướng gãy của cành cây, phải cách thân cây ít nhất bao nhiêu mét để được an toàn (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Lời giải Trả lời: 2,26 Ta mô hình hóa bài toán như hình vẽ Với gốc cây là điểm $ C $, điểm rẽ nhánh của cành cây tại $ A $, và điểm cuối cùng của cành cây là $ B $, công trình xây dựng có các điểm gần thân cây nhất là $ HK $; theo giả thiết thì $ AC=7 $, $ AB=AB'=4{ \rm{ m } } $; $ HK=3,7 $m. Ta đặt hệ trục gắn với bài toán như hình vẽ, khi này ta có có $ A=\left ( { 0;7 } \right ) $, $ B'=\left ( { -4;7 } \right ) $, $ C≡O=\left ( { 0;0 } \right ) $; điểm $ K=\left ( { x;3,7 } \right ) $, $ H=\left ( { x;0 } \right ) $. Cung tròn tạo ra bởi điểm $ B $ khi cành cây gãy gục thuộc đường tròn tâm $ A $ và bán kính là 4, đường tròn có phương trình: $ x ^ { 2 } +\left ( { y-7 } \right ) ^ { 2 } =4 ^ { 2 } \,\,\,\left ( { C } \right ) $. Điểm $ K=\left ( { x;3,7 } \right ) $, thuộc đường thẳng $ d:\,\,\,y=3,7 $. Tọa độ các điểm giao điểm của đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ và đường thẳng $ d $ là nghiệm của hệ $ \left \{ \begin{array}{l} x ^ { 2 } +\left ( { y-7 } \right ) ^ { 2 } =4 ^ { 2 } \\ y=3,7 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{ \begin{array}{l} x ^ { 2 } =\frac { 511 } { 100 } \\ y=3,7 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{ \begin{array}{l} x=\frac { ±\sqrt[] { 511 } } { 10 }≈±2,26 \\ y=3,7 \end{array} \right. $. Vậy ta có các giao điểm là $ M\left ( { \frac { \sqrt[] { 511 } } { 10 };3,7 } \right ),\,\,\,N\left ( { \frac { -\sqrt[] { 511 } } { 10 };3,7 } \right ) $. Ta thấy công trình sẽ bị cành cây va phải nếu đường tròn và đoạn $ MN $ có điểm chung. Vậy công trình phải cách thân cây ít nhất 2,26 m theo phương gãy của cành cây.