Đúng/Sai · Câu 16
Cho phương trình $\sin x - \sqrt{3}\cos x = m$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Sai
- b. Đúng
- c. Đúng
- d. Đúng
Lời giải
a) Sai
b) Đúng
c) Đúng
d) Đúng
Lời giải
Ta có: $\sin x - \sqrt{3}\cos x = 2\left(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$.
a) Khi $m = 0$, ta có phương trình:
$$
\sin x - \sqrt{3}\cos x = 0 \Leftrightarrow 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{3} = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
$$
$$
\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} + k\pi
$$
Vì $x \in (0; \pi) \Leftrightarrow 0 < \frac{\pi}{3} + k\pi < \pi \Leftrightarrow -\frac{1}{3} < k < \frac{2}{3}$. Mà $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0$.
Vậy phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm $x = \frac{\pi}{3}$ trong khoảng $(0; \pi)$.
b) Khi $m = 1$, ta có phương trình:
$$
\sin x - \sqrt{3}\cos x = 1 \Leftrightarrow 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 1 \Leftrightarrow \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}
$$
c) Vì $-1 \le \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \le 1 \Rightarrow -2 \le \sin x - \sqrt{3}\cos x \le 2$, do đó điều kiện để phương trình có nghiệm là $m \in [-2; 2]$.
Vậy với $m = 3$, phương trình đã cho vô nghiệm.
d) Theo câu c), khi $m \in [-2; 2]$ thì phương trình đã cho luôn có nghiệm.