Cho hàm số $y = f(x) = \frac{2\cos x}{\cos x + 3}$. Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau đây:

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Lời giải a) $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{2\cos\frac{\pi}{2}}{\cos\frac{\pi}{2} + 3} = 0$. b) Ta có $\cos x + 3 > 0, \forall x \in \mathbb{R}$ nên tập xác định $D = \mathbb{R}$. c) Hàm số đã cho là hàm số chẵn vì với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì $-x \in \mathbb{R}$ và: $$ f(-x) = \frac{2\cos(-x)}{\cos(-x) + 3} = \frac{2\cos x}{\cos x + 3} = f(x) $$ d) Ta có: $y = \frac{2\cos x}{\cos x + 3} \quad (*)$. Trường hợp 1: $y = 2$. Khi đó $(*)$ trở thành: $0 = 6$ (vô lý). Trường hợp 2: $y \neq 2$. Khi đó $(*)$ tương đương với: $$ y(\cos x + 3) = 2\cos x \Leftrightarrow (y - 2)\cos x = -3y \Leftrightarrow \cos x = \frac{3y}{2 - y} $$ Để hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì phương trình trên phải có nghiệm $x$, tức là: $$ -1 \le \frac{3y}{2 - y} \le 1 $$ Vì $\cos x + 3 > 0 \Rightarrow 2 - y > 0$, ta có hệ bất phương trình: $$ \left\{\begin{array}{l} \frac{3y}{2 - y} \ge -1 \\ \frac{3y}{2 - y} \le 1 \end{array}\right. \Leftrightarrow -1 \le y \le \frac{1}{2} $$ Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\frac{1}{2}$ khi $x = k2\pi$, giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-1$ khi $x = \pi + k2\pi$. Do đó tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $-\frac{1}{2}$.