Bài tập nâng cao · Bài 62
Dạng 2. Xác suất liên quan người, vật
Bài tập nâng cao Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất · Bài 62
Mỗi bạn An và Bình chọn ngẫu nhiên ba số trong tập $\left\{ \begin{array}{l} 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 \end{array} \right\}$. Xác suất để trong hai bộ ba số của An và Bình chọn ra có nhiều nhất một số giống nhau bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $n\left( Ω \right)=\left( C_{10}^{3} \right)^{2}$.
Gọi $A$ là biến cố: “Trong hai bộ ba số của An và Bình chọn ra có nhiều nhất một số giống nhau”.
TH1: Trong hai bộ ba số của An và Bình chọn ra không có số nào giống nhau:
+) An chọn ngẫu nhiên 3 số: Có $C_{10}^{3}$ cách.
+) Bình chọn ngẫu nhiên 3 số trong 7 số còn lại: Có $C_{7}^{3}$ cách.
Theo quy tắc nhân ta có $C_{10}^{3}.C_{7}^{3}$ cách.
TH2: Trong hai bộ ba số của An và Bình chọn ra có đúng một số giống nhau:
+) Cả 2 bạn cùng chọn ra một số giống nhau: Có $10$ cách.
+) Chọn 2 số còn lại sao cho không có số nào giống nhau: Có $C_{9}^{2}.C_{7}^{2}$ cách.
Theo quy tắc nhân ta có $10.C_{9}^{2}.C_{7}^{2}$ cách.
Vậy ta có: $n\left( A \right)=C_{10}^{3}.C_{7}^{3}+10.C_{9}^{2}.C_{7}^{2}$. Từ đó suy ra: $P\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( Ω \right)}=\frac{49}{60}$.
Gọi $A$ là biến cố: “Trong hai bộ ba số của An và Bình chọn ra có nhiều nhất một số giống nhau”.
TH1: Trong hai bộ ba số của An và Bình chọn ra không có số nào giống nhau:
+) An chọn ngẫu nhiên 3 số: Có $C_{10}^{3}$ cách.
+) Bình chọn ngẫu nhiên 3 số trong 7 số còn lại: Có $C_{7}^{3}$ cách.
Theo quy tắc nhân ta có $C_{10}^{3}.C_{7}^{3}$ cách.
TH2: Trong hai bộ ba số của An và Bình chọn ra có đúng một số giống nhau:
+) Cả 2 bạn cùng chọn ra một số giống nhau: Có $10$ cách.
+) Chọn 2 số còn lại sao cho không có số nào giống nhau: Có $C_{9}^{2}.C_{7}^{2}$ cách.
Theo quy tắc nhân ta có $10.C_{9}^{2}.C_{7}^{2}$ cách.
Vậy ta có: $n\left( A \right)=C_{10}^{3}.C_{7}^{3}+10.C_{9}^{2}.C_{7}^{2}$. Từ đó suy ra: $P\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( Ω \right)}=\frac{49}{60}$.