Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

a) Đúng. Xét $f(x) = 12x^2 - 11x - 5$. $f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = -\frac{1}{3} \\ x = \frac{5}{4} \end{array} \right.$. Bảng xét dấu (như hình vẽ). Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{5}{4}; +\infty\right)$. b) Sai. Xét $g(x) = -2x^2 - x + 351$. $g(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = -\frac{27}{2} \\ x = 13 \end{array} \right.$. Bảng xét dấu (như hình vẽ). Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = \left[-\frac{27}{2}; 13\right]$. Số nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là $13 - (-13) + 1 = 27$. c) Sai. Đặt $f(x) = (m + 1)x^2 - 2mx - m + 4$. Bất phương trình $(m + 1)x^2 - 2mx - m + 4 < 0$ vô nghiệm nếu và chỉ nếu $f(x) \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$. - TH1: Với $m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = -1$. Khi đó $f(x) = 2x + 5$. $f(x) \ge 0 \Leftrightarrow 2x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -\frac{5}{2}$ (không thỏa mãn với mọi $x \in \mathbb{R}$) nên loại $m = -1$. - TH2: Với $m \neq -1$. Khi đó $f(x) \ge 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m+1 > 0\\ \Delta' \le 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m > -1\\ \Delta' = m^2 - (m+1)(-m+4) \le 0\end{array}\right. $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m > -1\\ 2m^2 - 3m - 4 \le 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m > -1\\ \frac{3-\sqrt{41}}{4} \le m \le \frac{3+\sqrt{41}}{4}\end{array}\right. \Leftrightarrow \frac{3-\sqrt{41}}{4} \le m \le \frac{3+\sqrt{41}}{4}$. d) Sai. Để $S$ có tất cả $8$ tập con thì $n(S) = 3$. $x^2 - 2(m-2)x - 2m + 3 < 0 \Leftrightarrow (x+1)(x - 2m + 3) < 0$. (1) - TH1: $2m - 3 = -1 \Leftrightarrow m = 1$, khi đó (1) trở thành $(x+1)^2 < 0$ (vô nghiệm) nên loại $m = 1$. - TH2: $2m - 3 > -1 \Leftrightarrow m > 1$, khi đó (1) có tập nghiệm $(-1; 2m-3)$. Do đó $S = \{0; 1; 2\}$, suy ra $2 < 2m - 3 \le 3 \Leftrightarrow \frac{5}{2} < m \le 3$, kết hợp điều kiện $m>1$ ta được $\frac{5}{2} < m \le 3$. - TH3: $2m - 3 < -1 \Leftrightarrow m < 1$, khi đó (1) có tập nghiệm $(2m-3; -1)$. Do đó $S = \{-4; -3; -2\}$, suy ra $-5 \le 2m - 3 < -4 \Leftrightarrow -1 \le m < -\frac{1}{2}$, kết hợp điều kiện $m<1$ ta được $-1 \le m < -\frac{1}{2}$. Từ 3 trường hợp trên ta có $m \in \left[-1; -\frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{5}{2}; 3\right]$.