Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để biểu thức $f(x) = (m+10)x^2 - 2(m-2)x + 1$ luôn không âm với mọi $x \in \mathbb{R}$?

Biểu thức $f(x)$ luôn không âm với mọi $x \in \mathbb{R}$ tương đương với $f(x) \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$. - Trường hợp 1: $m + 10 = 0 \Leftrightarrow m = -10$. Khi đó, biểu thức trở thành: $f(x) = 24x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -\frac{1}{24}$ (không thỏa mãn với mọi $x \in \mathbb{R}$). - Trường hợp 2: $m + 10 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq -10$. Để $f(x) \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$ thì: $\left\{\begin{array}{l}a > 0\\\Delta' \le 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m + 10 > 0\\(m - 2)^2 - (m + 10) \le 0\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m > -10\\m^2 - 5m - 6 \le 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m > -10\\-1 \le m \le 6\end{array}\right. \Leftrightarrow -1 \le m \le 6$. Vì $m$ là số nguyên nên $m \in \{-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}$. Vậy có tất cả $8$ giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.