Cho tam thức bậc hai $f(x) = -(m + 1)x^2 + 2(m - 3)x - (m - 5)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-25; 25]$ để tam thức bậc hai đã cho luôn không dương với mọi $x \in \mathbb{R}$?

Để tam thức bậc hai $f(x) = -(m + 1)x^2 + 2(m - 3)x - (m - 5)$ luôn không dương với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì: $\begin{cases} a < 0 \\ \Delta' \le 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -(m + 1) < 0 \\ (m - 3)^2 - [-(m + 1)][-(m - 5)] \le 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} m + 1 > 0 \\ (m^2 - 6m + 9) - (m^2 - 4m - 5) \le 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m > -1 \\ -2m + 14 \le 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} m > -1 \\ m \ge 7 \end{cases} \Leftrightarrow m \ge 7$. Kết hợp với điều kiện $m$ là số nguyên và $m \in [-25; 25]$, ta suy ra $m \in \{7; 8; 9; \dots; 25\}$. Số giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $25 - 7 + 1 = 19$ giá trị.