Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn $ \left[ -5;5 \right] $ của tham số $ m $ để biểu thức $ f\left ( { x } \right )=\left ( { m-3 } \right )x ^ { 2 } +2\left ( { m-3 } \right )x+m-7 $ luôn không dương?

Theo giả thiết, ta có: $ f\left ( { x } \right )=\left ( { m-3 } \right )x ^ { 2 } +2\left ( { m-3 } \right )x+m-7≤0,∀x∈\mathbb{R} $, (*) Trường hợp 1: Xét $ m-3=0⇔m=3 $. Thay $ m=3 $ vào (*), ta được: $ -4≤0 $(luôn đúng với mọi $ x∈\mathbb{R} $). Nhận $ m=3 $. Trường hợp 2: Xét $ m-3≠0 $. Khi đó: $ \left ( { * } \right )⇔\left \{ \begin{array}{l} Δ'≤0 \\ a < 0 \end{array} \right. ⇔\left \{ \begin{array}{l} \left ( { m-3 } \right ) ^ { 2 } -\left ( { m-3 } \right )\left ( { m-7 } \right )≤0 \\ m-3 < 0 \end{array} \right. ⇔\left \{ \begin{array}{l} m ^ { 2 } -6m+9-\left ( { m ^ { 2 } -7m-3m+21 } \right )≤0 \\ m-3 < 0 \end{array} \right. $ $ ⇔\left \{ \begin{array}{l} 4m-12≤0 \\ m-3 < 0 \end{array} \right. ⇔\left \{ \begin{array}{l} m≤3 \\ m < 3 \end{array} \right.⇔m < 3 $. Từ hai trường hợp, ta có $ m≤3 $ thỏa yêu cầu bài toán. Suy ra giá trị nguyên thuộc đoạn $ \left[ -5;5 \right] $ của tham số $ m $ là: $ -5;\,-4;\,-3;\,-2;\,-1;\,0;\,1;\,2;\,3 $. Vậy có tất cả $ 9 $ giá trị