Cho biểu thức $f(x) = (m + 1)x^2 + 3x - 1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-10; 10]$ để $f(x)$ là một tam thức bậc hai luôn nhận giá trị âm với mọi $x \in \mathbb{R}$?

Để $f(x) = (m + 1)x^2 + 3x - 1$ là một tam thức bậc hai luôn nhận giá trị âm với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì: $\begin{cases} a < 0 \\ \Delta < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m + 1 < 0 \\ 3^2 - 4(m + 1)(-1) < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < -1 \\ 4m + 13 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < -1 \\ m < -\frac{13}{4} \end{cases} \Leftrightarrow m < -\frac{13}{4}$. Kết hợp với điều kiện $m \in \mathbb{Z}$ và $m \in [-10; 10]$, ta được $m \in \{-10; -9; -8; -7; -6; -5; -4\}$. Vậy có tất cả $7$ giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.