Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $ m $ để bất phương trình: $ \left ( { m-1 } \right )x ^ { 2 } -2\left ( { m-1 } \right )x+4 < 0 $ vô nghiệm.

Bất phương trình $ \left ( { m-1 } \right )x ^ { 2 } -2\left ( { m-1 } \right )x+4 < 0 $ vô nghiệm $ ⇔f\left ( { x } \right )=\left ( { m-1 } \right )x ^ { 2 } -2\left ( { m-1 } \right )x+4≥0\,,∀x∈\mathbb{R} $. Trường hợp 1: Nếu $ m-1=0⇔m=1 $, khi đó $ f\left ( { x } \right )=4≥0 $. Do đó $ m=1 $ thỏa mãn. Trường hợp 2: Nếu $ m-1≠0⇔m≠1 $, khi đó: $ f\left ( { x } \right )≥0,∀x∈\mathbb{R}⇔\left \{ \begin{array}{l} a>0 \\ Δ'≤0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} m-1>0 \\ \left ( { m-1 } \right ) ^ { 2 } -4\left ( { m-1 } \right )≤0 \end{array} \right. ⇔\left \{ \begin{array}{l} m>1 \\ m ^ { 2 } -6m+5≤0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} m>1 \\ 1≤m≤5 \end{array} \right.⇔m∈\left ( { 1;5 } \right ] $. Kết hợp hai trường hợp ta được $ m∈\left[ 1;5 \right] $. Vì m nguyên nên có 5 giá trị của m.