Cho bất phương trình $(m - 1)x^2 + (m - 3)x + 4 > 0$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$?

Đặt $f(x) = (m - 1)x^2 + (m - 3)x + 4$. - Trường hợp 1: $m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$. Thay $m = 1$ vào bất phương trình ta được: $-2x + 4 > 0 \Leftrightarrow x < 2$ (không thỏa mãn với mọi $x \in \mathbb{R}$). Do đó ta loại trường hợp $m = 1$. - Trường hợp 2: $m - 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 1$. Bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi: $\begin{cases} a > 0 \\ \Delta < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m - 1 > 0 \\ (m - 3)^2 - 16(m - 1) < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m > 1 \\ m^2 - 22m + 25 < 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} m > 1 \\ 11 - 4\sqrt{6} < m < 11 + 4\sqrt{6} \end{cases} \Leftrightarrow 11 - 4\sqrt{6} < m < 11 + 4\sqrt{6}$. Vì $11 - 4\sqrt{6} \approx 1{,}2$ và $11 + 4\sqrt{6} \approx 20{,}8$, kết hợp với điều kiện $m \in \mathbb{Z}$, ta được $m \in \{2; 3; 4; \dots; 20\}$. Số giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $20 - 2 + 1 = 19$ giá trị.