Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình $(2m^2 - 3m - 2)x^2 + 2(m-2)x - 1 \le 0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$?

Xét bất phương trình: $(2m^2 - 3m - 2)x^2 + 2(m-2)x - 1 \le 0$ (1) Trường hợp 1: $2m^2 - 3m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 2\\m = -\frac{1}{2}\end{array}\right.$ - Với $m = 2$, bất phương trình (1) trở thành: $-1 \le 0$ (luôn đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$). Do đó, $m = 2$ thỏa mãn. - Với $m = -\frac{1}{2}$, bất phương trình (1) trở thành: $-5x - 1 \le 0 \Leftrightarrow x \ge -\frac{1}{5}$ (không thỏa mãn với mọi $x \in \mathbb{R}$). Trường hợp 2: $2m^2 - 3m - 2 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 2$ và $m \neq -\frac{1}{2}$. Bất phương trình (1) có tập nghiệm là $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi: $\left\{\begin{array}{l}a < 0\\\Delta' \le 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2m^2 - 3m - 2 < 0\\(m-2)^2 - (2m^2 - 3m - 2)(-1) \le 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2m^2 - 3m - 2 < 0\\3m^2 - 7m + 2 \le 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2} < m < 2\\\frac{1}{3} \le m \le 2\end{array}\right. \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le m < 2$. Với $m$ nguyên và $\frac{1}{3} \le m < 2$, ta được $m = 1$. Kết hợp cả hai trường hợp, có $2$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m = 1$ và $m = 2$.