Cho bất phương trình $x^2 - (m+1)x + m \le 0$ (1). Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:

a) Sai. Với $m = -2$, ta có bất phương trình: $x^2 + x - 2 \le 0$. Thay $x = 3$ vào bất phương trình, ta được: $3^2 + 3 - 2 \le 0 \Leftrightarrow 10 \le 0$ (vô lý). Do đó, mệnh đề a) Sai. b) Đúng. Với $m = -2$, ta có bất phương trình: $x^2 + x - 2 \le 0 \Leftrightarrow -2 \le x \le 1$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = [-2; 1]$. Do đó, mệnh đề b) Đúng. c) Sai. Xét tam thức bậc hai $f(x) = x^2 - (m+1)x + m$ có hệ số $a = 1 > 0$ và biệt thức: $\Delta = [-(m+1)]^2 - 4m = m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2 \ge 0, \forall m \in \mathbb{R}$. Khi $m \neq 1$ thì $\Delta > 0$, phương trình $f(x) = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt nên tam thức luôn đổi dấu khi qua các nghiệm, không thể nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó, mệnh đề c) Sai. d) Sai. Tam thức $x^2 - (m+1)x + m = 0$ có hai nghiệm là $x = 1$ và $x = m$. - Nếu $m > 1$, tập nghiệm của bất phương trình là $S = [1; m]$. - Nếu $m < 1$, tập nghiệm của bất phương trình là $S = [m; 1]$. - Nếu $m = 1$, tập nghiệm của bất phương trình là $S = \{1\}$. Do đó, khi bất phương trình có tập nghiệm $S = [1; 5]$ thì $m = 5$. Khi đó bất phương trình $x^2 - mx + 6 \le 0$ trở thành $x^2 - 5x + 6 \le 0$, có tập nghiệm $T = [2; 3] \Rightarrow a = 2, b = 3$. Vậy $b - a = 1$.