Số giá trị nguyên của tham số $ m $ thuộc khoảng $ \left ( { -10;10 } \right ) $ để hàm số $ f\left ( { x } \right )=\frac { x+1 } { \sqrt[] { -x ^ { 2 } -\left ( { m-1 } \right )x+2m ^ { 2 } -m } } $ xác định với mọi giá trị $ x $ trên khoảng $ \left ( { -1;2 } \right ). $

Xét phương trình $ g\left ( { x } \right )=-x ^ { 2 } -\left ( { m-1 } \right )x-2m ^ { 2 } +m=0⇔x ^ { 2 } +\left ( { m-1 } \right )x-2m ^ { 2 } +m=0⇔\left[ \begin{array}{l} x=m \\ x=1-2m \end{array} \right. $. Ta có $ g\left ( { x } \right )>0,\,∀x∈\left ( { -1;2 } \right )⇔\left[ \begin{array}{l} \left \{ \begin{array}{l} m≤-1 \\ 1-2m≥2 \end{array} \right. \\ \left \{ \begin{array}{l} m≥2 \\ 1-2m≤-1 \end{array} \right. \end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l} m≤-1 \\ m≥2 \end{array} \right. $. Vậy hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ xác định với mọi giá trị $ x $ trên khoảng $ \left ( { -1;2 } \right ) $ khi và chỉ khi $ \left[ \begin{array}{l} m≤-1 \\ m≥2 \end{array} \right. $. Kết hợp với điều kiện $ m∈\left ( { -10;10 } \right ) $ ta thấy có $ 17 $ giá trị của $ m. $