Với giá trị của $ m∈\left ( { a;b } \right ) $ thì phương trình $ \left ( { m-1 } \right )x ^ { 2 } -2\left ( { m-2 } \right )x+m-3=0 $ có hai nghiệm $ x_{ 1 } $, $ x_{ 2 } $ thỏa mãn $ x_{ 1 } +x_{ 2 } +x_{ 1 } x_{ 2 } < 1 $. Khi đó tổng $ a+b $bằng?

Phương $ \left ( { m-1 } \right )x ^ { 2 } -2\left ( { m-2 } \right )x+m-3=0 $ có hai nghiệm $ x_{ 1 } $, $ x_{ 2 } $ khi và chỉ khi $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} m-1≠0 \\ Δ'≥0 \\ \end{array} \end{array} \right. ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} m≠1 \\ \left ( { m-2 } \right ) ^ { 2 } -\left ( { m-1 } \right )\left ( { m-3 } \right )≥0 \\ \end{array} \end{array} \right. ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} m≠1 \\ 1≥0 \\ \end{array} \end{array} \right. ⇔m≠1 $. Theo định lí Vi-et ta có:$ x_{ 1 } +x_{ 2 } =\frac { 2m-4 } { m-1 } $, $ x_{ 1 } x_{ 2 } =\frac { m-3 } { m-1 } $. Theo đề ta có: $ x_{ 1 } +x_{ 2 } +x_{ 1 } x_{ 2 } < 1 ⇔\frac { 2m-4 } { m-1 }+\frac { m-3 } { m-1 } < 1 ⇔\frac { 2m-6 } { m-1 } < 0 ⇔1 < m < 3 $. Vậy $ a+b=4. $