Cho phương trình $(x^2 - 3x + m)^2 + x^2 - 8x + 2m = 0$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-20; 20]$ để phương trình đã cho có $4$ nghiệm phân biệt?

Ta biến đổi phương trình đã cho như sau: $(x^2 - 3x + m)^2 + x^2 - 8x + 2m = 0$ $\Leftrightarrow \left[(x^2 - 3x + m)^2 - x^2\right] + (2x^2 - 8x + 2m) = 0$ $\Leftrightarrow (x^2 - 3x + m - x)(x^2 - 3x + m + x) + 2(x^2 - 4x + m) = 0$ $\Leftrightarrow (x^2 - 4x + m)(x^2 - 2x + m) + 2(x^2 - 4x + m) = 0$ $\Leftrightarrow (x^2 - 4x + m)(x^2 - 2x + m + 2) = 0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x^2 - 4x + m = 0 \quad (1)\\\\x^2 - 2x + m + 2 = 0 \quad (2)\end{array}\right.$ Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì mỗi phương trình (1) và (2) phải có 2 nghiệm phân biệt, đồng thời hai phương trình không có nghiệm chung. - Điều kiện để cả hai phương trình đều có 2 nghiệm phân biệt là: $\left\{\begin{array}{l}\Delta'_1 > 0\\\\\Delta'_2 > 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}4 - m > 0\\\\1 - (m + 2) > 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m < 4\\\\m < -1\end{array}\right. \Leftrightarrow m < -1$. - Tìm giá trị $m$ để hai phương trình có nghiệm chung: Giả sử $x_0$ là nghiệm chung của (1) và (2), khi đó: $\left\{\begin{array}{l}x_0^2 - 4x_0 + m = 0\\\\x_0^2 - 2x_0 + m + 2 = 0\end{array}\right.$ Trừ vế theo vế, ta được: $-2x_0 - 2 = 0 \Leftrightarrow x_0 = -1$. Thay $x_0 = -1$ vào (1): $1 + 4 + m = 0 \Leftrightarrow m = -5$. Vậy khi $m = -5$ thì hai phương trình có nghiệm chung nên phải loại giá trị này. Kết hợp điều kiện $m < -1$ với $m \in [-20; 20]$ và $m \in \mathbb{Z}$, ta được $m \in \{-20; -19; \ldots; -2\}$, có $19$ giá trị, sau đó loại $m = -5$, còn lại $18$ giá trị. Vậy có $18$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.