Giả sử phương trình bậc hai ẩn $ x $ ($ m $là tham số): $ x ^ { 2 } -2\left ( { m-1 } \right )x-m ^ { 3 } +\left ( { m+1 } \right ) ^ { 2 } =0 $có hai nghiệm $ x_{ 1 } ,x_{ 2 } $thỏa mãn điều kiện $ x_{ 1 } +x_{ 2 } ≤4 $. Tìm tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau: $ P=x_{ 1 } ^{ 3 }+x_{ 2 } ^{ 3 }+x_{ 1 } x_{ 2 } \left ( { 3x_{ 1 } +3x_{ 2 } +8 } \right ). $

Phương trình (1) có hai nghiệm $ x_{ 1 } ,x_{ 2 } $ thỏa mãn điều kiện $ x_{ 1 } +x_{ 2 } ≤4 $ khi $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} Δ ^ { ′ } =(m-1) ^ { 2 } +m ^ { 3 } -(m+1) ^ { 2 } ≥0 \\ x_{ 1 } +x_{ 2 } =2(m-1)≤4 \\ \end{array} \end{array} \right. ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} m ^ { 3 } -4m≥0 \\ m≤3 \\ \end{array} \end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l} -2≤m≤0 \\ 2≤m≤3 \\ \end{array} \right.\quad (*) $. Với $ m $ thỏa mãn điều kiện (*), áp dụng Viet ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x_{ 1 } +x_{ 2 } =2(m-1) \\ x_{ 1 } ⋅x_{ 2 } =-m ^ { 3 } +(m+1) ^ { 2 } \\ \end{array} \end{array} \right. $ nên $ P=x_{ 1 } ^{ 3 }+x_{ 2 } ^{ 3 }+x_{ 1 } x_{ 2 } \left ( { 3x_{ 1 } +3x_{ 2 } +8 } \right )=\left ( { x_{ 1 } +x_{ 2 } } \right ) ^ { 3 } +8x_{ 1 } x_{ 2 } $ $ \begin{array}{l} =8(m-1) ^ { 3 } +8\left ( { -m ^ { 3 } +(m+1) ^ { 2 } } \right ) \\ =8\left[ -3m ^ { 2 } +3m-1+m ^ { 2 } +2m+1 \right]=8\left[ -2m ^ { 2 } +5m \right]=-16m ^ { 2 } +40m. \\ \end{array} $ Ta có bảng biến thiên hàm số P trên miền điều kiện (*) như sau: Từ bảng biến thiên ta được: $ P_{ max } =16 $khi $ m=2 $, $ P_{ min } =-144 $khi$ m=-2 $. Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $ P $ là $ P_{ max } +P_{ min } =16+\left ( { -144 } \right )=-128 $.