Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ thỏa mãn $ f'\left ( { x } \right )=-2x+4 $ và $ f\left ( { 3 } \right )=1 $. Gọi $ F\left ( { x } \right ) $ là một nguyên hàm của $ f\left ( { x } \right ) $ và thỏa mãn $ F\left ( { 2 } \right )+4F\left ( { 1 } \right )=0 $. Khi đó

a) Đúng. Ta có $ f'\left ( { x } \right )=-2x+4 $ nên $ f'\left ( { 3 } \right )=-2.3+4=-2 $. b) Đúng. Ta có $ F\left ( { x } \right ) $ là một nguyên hàm của $ f\left ( { x } \right ) $ nên $ F'\left ( { x } \right )=f\left ( { x } \right ) $ c) Đúng. Ta có $ f\left ( { x } \right )=\int { f'\left ( { x } \right )dx=\int { \left ( { -2x+4 } \right )dx } } =-x ^ { 2 } +4x+C $ mà $ f\left ( { 3 } \right )=1 $ nên ta có $ 1=-9+12+C⇔C=-2 $ suy ra $ f\left ( { x } \right )=-x ^ { 2 } +4x-2 $. Ta có $ F\left ( { x } \right )=\int { f\left ( { x } \right )dx=\int { \left ( { -x ^ { 2 } +4x-2 } \right )dx } } =-\frac { x ^ { 3 } } { 3 }+2x ^ { 2 } -2x+C' $ Mà $ F\left ( { 2 } \right )+4F\left ( { 1 } \right )=0 $ nên ta có $ -\frac { 8 } { 3 }+8-4+C'+4\left ( { -\frac { 1 } { 3 }+2-2+C' } \right )=0 $ $ ⇔C'=0 $ Ta có $ F\left ( { x } \right )=-\frac { x ^ { 3 } } { 3 }+2x ^ { 2 } -2x $ suy ra $ F\left ( { -2 } \right )=\frac { 44 } { 3 } $ d) Sai. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y=F\left ( { x } \right ) $, trục $ Ox $ và hai đường thẳng $ x=1,x=2 $ Ta có $ F\left ( { x } \right )=0⇔-\frac { x ^ { 3 } } { 3 }+2x ^ { 2 } -2x=0⇔\left[\begin{array}{l} x=0 \\ x=3-\sqrt[] { 3 } \\ x=3+\sqrt[] { 3 } \end{array}\right. $ Diện tích hình phẳng cần tính là $ S=\int _{ 1 }^{ 3-\sqrt[] { 3 } } { \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }-2x ^ { 2 } +2x } \right )dx+\int _{ 3-\sqrt[] { 3 } }^{ 2 } { \left ( { -\frac { x ^ { 3 } } { 3 }+2x ^ { 2 } -2x } \right )dx } } $ $ ≈0,51>0,5 $