Cho tam giác đều $ ABC $;gọi $ D $ là điểm thỏa mãn $ \overset\rightarrow { DC }=2\overset\rightarrow { BD } $. Gọi $ R $ và $ r $ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác $ ADC. $ Tính tỉ số $ \frac { R } { r } $.

Chọn D Ta có $ \overset\rightarrow { DC }=2\overset\rightarrow { BD }⇔\overset\rightarrow { DC }=-2\overset\rightarrow { DB } $. Do đó $ DC=2DB $. Gọi $ S $ là diện tích của tam giác $ ACD $và $ E $ là trung điểm của $ BC $. Đặt $ AB=a $. Suy ra $ \left \{ \begin{array}{l} S=\frac { 2 } { 3 }S_{ ABC } =\frac { 2 } { 3 }.\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }=\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 6 } \\ AD=\sqrt[] { AE ^ { 2 } +ED ^ { 2 } }=\sqrt[] { \left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { a } { 6 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 2a\sqrt[] { 7 } } { 6 } \end{array} \right. $. Hơn nữa $ \left \{ \begin{array}{l} S=\frac { AD+DC+AC } { 2 }.r=\frac { 5+\sqrt[] { 7 } } { 6 }a.r \\ S=\frac { AD.DC.BC } { 4R }=\frac { 2a ^ { 3 } \sqrt[] { 7 } } { 36R } \end{array} \right.⇒S ^ { 2 } =\frac { \left ( { 5+\sqrt[] { 7 } } \right )ar.2a ^ { 3 } \sqrt[] { 7 } } { 6.36R }=\frac { \sqrt[] { 7 }\left ( { 5+\sqrt[] { 7 } } \right )a ^ { 4 } r } { 108R } $. Hay $ \frac { a ^ { 4 } } { 12 }=\frac { \sqrt[] { 7 }\left ( { 5+\sqrt[] { 7 } } \right )a ^ { 4 } r } { 108R }⇔\frac { R } { r }=\frac { \sqrt[] { 7 }\left ( { 5+\sqrt[] { 7 } } \right ).12 } { 108 }⇔\frac { R } { r }=\frac { \sqrt[] { 7 }\left ( { 5+\sqrt[] { 7 } } \right ) } { 9 } $.