(THPT Đào Duy Từ - Thanh Hóa 2025) Đổ tam hưởng là trò chơi dân gian có thưởng trong ngày Tết xưa ở một số địa phương. Trong trò chơi này, người chơi gieo đồng thời 3 con súc sắc đồng chất và người chơi thắng cuộc nếu trong ba con súc sắc có ít nhất hai con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm. Biết rằng xác suất để trong 4 ván, người chơi thắng ít nhất 3 ván là $ \frac { a } { b } $ (với $ a,b $ là các số nguyên dương và phân số $ \frac { a } { b } $tối giản). Khi đó $ b-650a $ bằng bao nhiêu?

Gọi $ p $ là xác suất thắng trong 1 ván. Điều kiện ván thắng là “có ít nhất hai con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”, tức là ván thắng phải xuất hiện hai mặt 6 chấm hoặc ba mặt 6 chấm. Xác suất ván xuất hiện đúng hai mặt 6 chấm là $ C_{3}^{2}⋅\left ( { \frac { 1 } { 6 } } \right )^{2}⋅\frac { 5 } { 6 }=\frac { 15 } { 216 } $. Xác suất ván xuất hiện ba mặt 6 chấm là $ \left ( { \frac { 1 } { 6 } } \right )^{3}=\frac { 1 } { 216 } $. Do đó $ p=\frac { 16 } { 216 }=\frac { 2 } { 27 } $. Xác suất để người chơi thắng ít nhất 3 trong 4 ván là $ C_{4}^{3}p^{3}(1-p)+p^{4}=\frac { 272 } { 177147 } $. Suy ra $ a=272 $, $ b=177147 $ và $ b-650a=347 $.