(Sở Phú Thọ 2025) Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Vật lí và 3 cuốn sách Hóa học. Thầy giáo lấy ngẫu nhiên ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh mỗi em một cuốn.

a) Đúng. Số cách lấy ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh là $ A_{ 12 } ^{ 6 } $. b) Đúng. Vì số sách của mỗi loại đều bé hơn 6 nên không có cách nào lấy 6 cuốn sách chỉ có một loại. Do đó: Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai loại Toán, Vật lí là $ C_{ 9 } ^{ 6 } $. Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai loại Toán, Hóa học là $ C_{ 8 } ^{ 6 } $. Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai loại Vật lí, Hóa học là $ C_{ 7 } ^{ 6 } $. Suy ra: Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai trong ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là $ C_{ 7 } ^{ 6 }+C_{ 8 } ^{ 6 }+C_{ 9 } ^{ 6 } $. c) Sai. Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất một cuốn bằng số cách lấy ra 6 cuốn sách có đủ ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học. +) Số cách lấy ngẫu nhiên ra 6 cuốn sách là: $ C_{ 12 } ^{ 6 } $. +) Không có cách nào để lấy 6 cuốn sách chỉ có một loại. Suy ra số cách lấy ra 6 cuốn sách đủ ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là $ C_{ 12 } ^{ 6 }-\left ( { C_{ 7 } ^{ 6 }+C_{ 8 } ^{ 6 }+C_{ 9 } ^{ 6 } } \right ) $. d) Đúng. - Số phần tử không gian mẫu: $ n\left ( { Ω } \right )=A_{ 12 } ^{ 6 } $. - Số cách lấy ra 6 cuốn sách tặng cho 6 học sinh sao cho sau khi tặng xong mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất một cuốn là $ \left[ C_{ 12 } ^{ 6 }-\left ( { C_{ 7 } ^{ 6 }+C_{ 8 } ^{ 6 }+C_{ 9 } ^{ 6 } } \right ) \right].6!=805.6! $. Do đó: Xác suất để sau khi tặng xong, mỗi loại sách đều còn lại ít nhất một cuốn là $ \frac { 805.6! } { A_{ 12 } ^{ 6 } }=\frac { 115 } { 132 } $.