Trắc nghiệm · Câu 39
Cần phải làm cái cửa sổ mà phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ nhật, có chu vi là $a$ mét. Gọi $d$ là đường kính của hình bán nguyệt. Hãy xác định $d$ để diện tích cửa sổ là lớn nhất.
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
D.
$d = \frac{2a}{4 + \pi}$
Lời giải
Lời giải
Chu vi phần hình bán nguyệt (cung tròn) là $\frac{d\pi}{2}$. Chu vi các cạnh còn lại của hình chữ nhật (không tính đường kính) là $a - \frac{d\pi}{2}$.
Vì có 3 cạnh hình chữ nhật (2 cạnh bên và 1 cạnh đáy) là $a - \frac{d\pi}{2}$, ta tính chiều cao $h$ của hình chữ nhật:
$$
h = \frac{a - \frac{d\pi}{2} - d}{2}
$$
Diện tích cửa sổ là:
$$
S(d) = d \cdot h + \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot \left( \frac{d}{2} \right)^{2} = \frac{ad}{2} - \frac{d^{2}\pi}{4} - \frac{d^{2}}{2} + \frac{\pi d^{2}}{8} = \frac{ad}{2} - d^{2}\left( \frac{\pi + 4}{8} \right)
$$
Đạo hàm:
$$
S'(d) = \frac{a}{2} - 2d \left( \frac{\pi + 4}{8} \right) = \frac{a}{2} - d \left( \frac{\pi + 4}{4} \right) = 0
$$
$$
d = \frac{2a}{4 + \pi}
$$