(THPT Sóc Sơn - Hà Nội 2025) Cây cà chua khi trồng có chiều cao $ 6 $cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng được cho bởi hàm số $ v\left ( { t } \right )=-0,1t ^ { 3 } +t ^ { 2 } $, trong đó $ t $ tính theo tuần, $ v\left ( { t } \right ) $ tính bằng cm/tuần. Gọi $ h\left ( { t } \right ) $ (tính bằng cm) là chiều cao của cây cà chua ở tuần thứ $ t $.

a) Sai. Giai đoạn tăng trưởng của cây dừng lại khi tốc độ tăng trưởng của cây bằng không $ v\left ( { t } \right )=0\Leftrightarrow -0,1t ^ { 3 } +t ^ { 2 } =0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t_{ 1 } =0 \\ t_{ 2 } =10 \end{array} \right. $ $ t_{ 1 } =0 $ là khi mới trồng xuống, $ t_{ 2 } =10 $ là giai đoạn tăng trưởng của cây. b) Đúng. Chiều cao tối đa của cây bằng chiều cao của cây khi trồng xuống cộng với chiều cao của cây trong giai đoạn tăng truwỏng $ h=6+\int _{ 0 }^{ 10 } { v\left ( { t } \right )dt }=6+\int _{ 0 }^{ 10 } { \left ( { -0,1t ^ { 3 } +t ^ { 2 } } \right )dt }=6+\left. { \left ( { \frac { -0,1 } { 4 }t ^ { 4 } +\frac { t ^ { 3 } } { 3 } } \right ) } \right|_{ 0 }^{ 10 }=6-\frac { 10 ^ { 3 } } { 4 }+\frac { 10 ^ { 3 } } { 3 }=6+\frac { 10 ^ { 3 } } { 12 }=\frac { 268 } { 3 }\approx 89,3333 $ c) Sai. Xét hàm số $ v\left ( { t } \right )=-0,1t ^ { 3 } +t ^ { 2 } $ trong khoảng thời gian từ $ t=0 $ tuần đến $ t=10 $ $ v'\left ( { t } \right )=-0,3t ^ { 2 } +2t,\,\,v'\left ( { t } \right )\Leftrightarrow -0,3t ^ { 2 } +2t=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t=0 \\ t=\frac { 20 } { 3 } \end{array}\right. $ Cây phát triển nhanh nhất vào thời điểm $ t=\frac { 20 } { 3 } $. Khi đó chiều cao của cây là $ h_{ 1 } =6+\int _{ 0 }^{ \frac { 20 } { 3 } } { \left ( { -0,1t ^ { 3 } +t ^ { 2 } } \right )dt=\frac { 4486 } { 81 }\approx 55,383 } $ d) Đúng. Ta có $ v\left ( { 1 } \right )=-0,1.1 ^ { 3 } +1 ^ { 2 } =0,9 $