Cho hai cấp số cộng có dãy số hạng lần lượt là: $ 5;8;11;… $ và $ 3;7;11,… $ Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số, có bao nhiêu số hạng chung?

Giả sử $ u_{ n } ,v_{ m } $ theo thứ tự là số hạng thứ $ n $ và $ m $ của mỗi cấp số cộng, ta có: $ u_{ n } =5+3(n-1);v_{ m } =3+4(m-1){ \rm{ . } } $Ta có: $ u_{ n } =v_{ m } ⇔5+3(n-1)=3+4(m-1)⇔2+3n=-1+4m⇔n=\frac { 4m } { 3 }-1 $. Đặt $ t=\frac { m } { 3 } $, vì $ n\in \mathbb{N} ^ { * } ⇒t\in \mathbb{N} ^ { * } $. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} m=3t\leq 100 \\ n=4t-1\leq 100 \\ \end{array} ⇒\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} t\leq 33 \\ t\leq 25 \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. $. Suy ra $ t\in \{1;2;3;…;25\} $. Với mỗi giá trị của $ t $, ta có một số hạng chung thuộc về hai dãy $ \left ( { u_{ n } } \right ),\left ( { v_{ m } } \right ) $. Vậy có tất cả 25 số hạng chung của hai dãy số đã cho trong 100 số hạng đầu tiên.