Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $G_1, G_2$ là trọng tâm của các tam giác $A'BD, B'D'C$. Khi đó:

a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Lời giải a) Đúng. Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên: $$ \left\{\begin{array}{l} A'D' \parallel BC \\ A'D' = BC \end{array}\right. \Rightarrow A'D'CB \text{ là hình bình hành.} $$ b) Đúng. Từ câu a suy ra $A'B \parallel CD' \Rightarrow A'B \parallel (B'D'C)$ (1). Tương tự, ta có: $$ \left\{\begin{array}{l} A'B' \parallel CD \\ A'B' = CD \end{array}\right. \Rightarrow A'B'CD \text{ là hình bình hành.} $$ Suy ra $A'D \parallel B'C \Rightarrow A'D \parallel (B'D'C)$ (2). Từ (1) và (2) suy ra $(A'BD) \parallel (B'D'C)$. c) Đúng. Gọi $O, O', I$ theo thứ tự là tâm của các hình bình hành $ABCD, A'B'C'D', ACC'A'$. Vì $G_1$ là trọng tâm tam giác $A'BD$ nên $\frac{A'G_1}{A'O} = \frac{2}{3} \Rightarrow G_1$ là trọng tâm tam giác $A'AC$, suy ra $G_1 = AI \cap A'O$ (3). Tương tự, $G_2$ là trọng tâm tam giác $B'D'C$ nên $\frac{CG_2}{CO'} = \frac{2}{3} \Rightarrow G_2$ là trọng tâm tam giác $A'C'C$, suy ra $G_2 = C'I \cap CO'$ (4). Từ (3) và (4) suy ra $G_1, G_2$ cùng thuộc $AC'$. d) Sai. Ta có $\frac{AG_1}{AI} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{AG_1}{AC'} = \frac{1}{3}$ và $\frac{C'G_2}{C'I} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{C'G_2}{AC'} = \frac{1}{3}$. Do vậy $AG_1 = G_1G_2 = G_2C' = \frac{1}{3}AC'$. Vậy $G_1, G_2$ cùng thuộc $AC'$, đồng thời chia $AC'$ thành ba phần bằng nhau.