Biết rằng hàm số $y = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $4$ tại $x = 2$ và có đồ thị hàm số đi qua điểm $A(0; 6)$. Tính tích $P = abc$.

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $4$ tại $x = 2$ nên $\begin{cases} a > 0 \\ -\frac{b}{2a} = 2 \\ -\frac{\Delta}{4a} = 4 \end{cases}$. Đồ thị hàm số đi qua điểm $A(0; 6)$ nên ta có $c = 6$. Từ đó ta có hệ: $\begin{cases} -\frac{b}{2a} = 2 \\ -\frac{\Delta}{4a} = 4 \\ c = 6 \\ a > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b = -4a \\ b^2 - 4ac = -16a \\ c = 6 \\ a > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b = -4a \\ 16a^2 - 8a = 0 \\ c = 6 \\ a > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b = -2 \\ c = 6 \end{cases}$. Suy ra $P = abc = -6$.