Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Hình vẽ sau minh họa quỹ đạo của quả bóng là một phần của cung parabol trong mặt phẳng tọa độ $ Oth $, trong đó $ t $ là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên và $ h $ là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ mặt đất. Sau khoảng 2s, quả bóng đó lên đến vị trí cao nhất là 8 m. Sau bao nhiêu giây thì quả bóng chạm đất kể từ khi đá lên?

Gọi hàm số bậc hai biểu thị độ cao $ h $ (m) theo thời gian $ t $(s) là:$ h=f\left ( { t } \right )=at ^ { 2 } +bt+c\,\,\,\,\left ( { a < 0 } \right ) $ Theo giả thiết, quả bóng được đá lên từ mặt đất, nghĩa là $ f\left ( { 0 } \right )=c=0 $, do đó $ f\left ( { t } \right )=at ^ { 2 } +bt $. Sau $ 2 $ s, quả bóng lên đến vị trí cao nhất là $ 8 $ m nên: $ \left \{ \begin{array}{l} -\frac { b } { 2a }=2 \\ f\left ( { 2 } \right )=8 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} b=-4{ \rm{ a } } \\ 4{ \rm{ a } }+2b=8 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} b=-4{ \rm{ a } } \\ -4{ \rm{ a } }=8 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=-2 \\ b=8 \end{array} \right. $ Vậy $ f\left ( { t } \right )=-2t ^ { 2 } +8t $. Quả bóng chạm đất (trở lại) khi độ cao $ h=0 $, tức là: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} t>0 \\ -2t ^ { 2 } +8t=0 \\ \end{array} ⇔t=4. \end{array} \right. $ Vậy sau $ 4 $s quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên.