Cho tập $ A=\left\{0;1;2;3;4;5;6\right\} $. Gọi $ S $ là tập hợp các số tự nhiên lập từ tập $ A $ gồm 5 chữ số khác nhau có dạng . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $ S $.Tính xác suất để chọn được số luôn có mặt chữ số 2 và có dạng $ a_{ 1 } < a_{ 2 } < a_{ 3 } >a_{ 4 } >a_{ 5 } $(Kết quả làm tròn đến 2 chữ số thập phân).

$ n\left ( { Ω } \right )=A_{ 7 } ^{ 5 }-A_{ 6 } ^{ 4 }=2160 $. Gọi $ B $ là biến cố: “ Chọn được số luôn có mặt chữ số 2 và có dạng $ a_{ 1 } < a_{ 2 } < a_{ 3 } >a_{ 4 } >a_{ 5 } $” TH1: $ a_{ 3 } =4 $ + Số 2 đứng trước $ a_{ 3 } $: số cách chọn các số đứng trước $ a_{ 3 } $là $ C_{ 2 } ^{ 1 } $ và số cách chọn các số đứng sau $ a_{ 3 } $ là $ C_{ 2 } ^{ 2 } $. Suy ra có $ C_{ 2 } ^{ 1 }.C_{ 2 } ^{ 2 }=2 $cách chọn. + Số 2 đứng sau $ a_{ 3 } $: số cách chọn các số đứng trước $ a_{ 3 } $là $ C_{ 2 } ^{ 2 } $ và số cách chọn các số đứng sau $ a_{ 3 } $ là 1. Suy ra có $ 1.C_{ 2 } ^{ 2 }=1 $ cách chọn. Do đó có $ 2+1=3 $ cách chọn. TH2: $ a_{ 3 } =5 $ + Số 2 đứng trước $ a_{ 3 } $: số cách chọn các số đứng trước $ a_{ 3 } $ là $ C_{ 3 } ^{ 1 } $ và số cách chọn các số đứng sau $ a_{ 3 } $ là $ C_{ 3 } ^{ 2 } $.Suy ra có $ C_{ 3 } ^{ 1 }.C_{ 3 } ^{ 2 }=9 $cách chọn. + Số 2 đứng sau $ a_{ 3 } $: số cách chọn các số đứng trước $ a_{ 3 } $là $ C_{ 3 } ^{ 2 } $ và số cách chọn các số đứng sau $ a_{ 3 } $ là $ C_{ 2 } ^{ 1 } $.Suy ra có $ C_{ 3 } ^{ 2 }C_{ 2 } ^{ 1 }=6 $ cách chọn. Do đó có $ 9+6=15 $cách chọn. TH3: $ a_{ 3 } =6 $ + Số 2 đứng trước $ a_{ 3 } $: số cách chọn các số đứng trước $ a_{ 3 } $là $ C_{ 4 } ^{ 1 } $ và số cách chọn các số đứng sau $ a_{ 3 } $ là $ C_{ 4 } ^{ 2 } $. Suy ra có $ C_{ 4 } ^{ 1 }.C_{ 4 } ^{ 2 }=24 $cách chọn. + Số 2 đứng sau $ a_{ 3 } $: số cách chọn các số đứng trước $ a_{ 3 } $là $ C_{ 4 } ^{ 2 } $ và số cách chọn các số đứng sau $ a_{ 3 } $ là $ C_{ 3 } ^{ 1 } $. Suy ra có $ C_{ 4 } ^{ 2 }C_{ 3 } ^{ 1 }=18 $ cách chọn. Do đó có $ 24+18=42 $cách chọn. $ n\left ( { B } \right )=42+15+3=60 $. $ P\left ( { B } \right )=\frac { 60 } { 2160 }≈0,03 $.